UEFA Champions League 2014/15: Die wahrscheinlichen Gruppengegner der deutschen Teams

Morgen Abend findet die Auslosung der UEFA Champions League 2014/15 statt. Mit welchen Gegnern müssen die deutschen Mannschaften Bayer Leverkusen, Bayern München, Borussia Dortmund und Schalke 04 rechnen? Mannschaften aus dem gleichen Verband dürfen nicht in einer Gruppe spielen, und aufgrund des aktuellen Konfliktes in der Ukraine darf Schachtar Donezk nicht gegen die russischen Vereine aus Moskau und St. Petersburg antreten. Aus diesem Grund ist nicht jede Gruppenkonstellation gleich wahrscheinlich. 
 
Mit Hilfe einer Monte-Carlo Simulation berechnen wir hier (wie zuvor zum Achtelfinale der letzten Saison) die wahrscheinlichsten Gegner der deutschen Teams. 32 Mannschaften aus 18 Verbänden von Belgien bis Weißrussland verteilen sich dabei gleichmäßig auf vier Töpfe. In jeder der acht Gruppen spielt ein Team aus jedem Topf, wobei in keiner Gruppen zwei Mannschaften eines Verbandes landen dürfen. Deutschland, England und Spanien stellen dabei insgesamt vier Mannschaften, drei kommen aus Portugal. Frankreich, Italien und Russland stellen zwei Teams (wobei rein methodisch Russland und Ukraine mit drei Mannschaften zusammengefasst werden, da diese Teams nicht in eine Gruppe zugelost werden dürfen). Die übrigen Teams kommen jeweils aus anderen Ländern.
Die Verbände unterscheiden sich allerdings nicht nur in Bezug auf die Anzahl der Mannschaften, die sie stellen, sondern auch in Hinblick auf die Verteilung der Töpfe, wie folgende Tabelle zeigt:

Drei der acht Mannschaften in Topf 1 kommen aus Spanien, zwei aus Portugal und England, und mit Bayern München ist eine deutsche Mannschaft im höchsten Los vertreten. Mit Borussia Dortmund und Schalke 04 finden wir zwei weitere deutsche Vereine in Topf 2. In Topf 3 ist Bayer Leverkusen durch die Champions League Qualifikation gelangt. Die drei Spanier aus Topf 1 können dabei alle Mannschaften aus Topf 2 als Gruppengegner zugelost bekommen, aber mehrere deutsche Mannschaften dürfen nicht in einer Gruppe landen. Auch darf Manchester City als einziges englisches Team aus Topf 2 nicht gegen die beiden Nachbarn aus London Arsenal oder Chelsea (beide Topf 1) spielen. 

Rechnet man nun zusätzlich Topf 3 und Topf 4 ein, so ergeben sich zahlreiche theoretische Kombinationen, die aufgrund des Regelwerkes nicht erlaubt sind. Wie groß wirkt sich dies aus?
Wir verwenden dabei 250.000 Simulationen. Für Bayern München aus Topf 1 ergibt sich dabei mit etwas höherer Wahrscheinlichkeit Manchester City, da dieser Verein durch Arsenal und Chelsea weniger potenzielle Gegner in Topf 1 hat, als die anderen Mannschaften, die gegen Bayern spielen dürfen. In 21% der Simulationen finden sich beide Vereine in einer Gruppe wieder, während dies bei knapp unter 16% der anderen Teams der Fall ist. Bilbao darf gleich gegen drei Mannschaften aus Topf 1 nicht antreten und entsprechend höher ist Wahrscheinlichkeit, dass die Basken gegen die Bayern spielen werden. In Topf 4 sehen wir dagegen kaum Unterschiede, da keines dieser Mannschaften einen Gegner aus dem gleichen Verband in Topf 1 hat. 

Borussia Dortmund und Schalke 04 unterscheiden sich nicht in Hinblick auf die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Gruppengegner. Auch sie haben eine leicht höhere Wahrscheinlichkeit eine englischen Gegner zu erhalten (jeweils 32% entweder Arsenal oder Chelsea). ZSKA Moskau ist mit 18,5% der wahrscheinliche Gegner aus Topf 3 (da ZSKA weder gegen St. Petersburg noch gegen Donezk spielen darf) gefolgt von Liverpool mit 15%. Monaco und Rom sind leicht wahrscheinlicher als die übrigen Vereine aus Topf 4 (aufgrund einem franz. und italienischen Team in Topf 2).

Für Bayer Leverkusen ist entsprechend ein englischer Gegner aus Topf 1 ein klein wenig unwahrscheinlicher, dafür ist aber mit Manchester City, Donezk und St. Petersburg, ein Verein auf Topf 2 aus England, Ukraine oder Russland ein wahrscheinlicherer Gruppengegner (18,1% gegenüber etwas über 15%).

Geht man nun von den Wahrscheinlichkeiten für einzelne Gegner weg, und guckt sich die Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche Gruppenkonstellationen an, so findet man beispielsweise, für Borussia Dortmund oder Schalke 04, 336 mögliche Konstellationen, deren Wahrscheinlichkeit zwischen ca. 0,2% und 0,5% liegt. Eine ganze leichte Gruppe ist dabei eher unwahrscheinlich, da insbesondere Monaco und Rom aus Topf 4, oder Liverpool aus Topf 3 hier häufig gezogen wird. Allerdings sind Real Madrid oder Barcelona nicht die wahrscheinlichsten Gegner. Für Bayern München oder Bayer Leverkusen sieht das entsprechend aus.

Wahrscheinlichkeit der Paarungen im UEFA Champions League 2013/14 Auslosung Achtelfinale

Unserer erster Post befasst sich mit der Auslosung des Achtelfinales der diesjährigen UEFA Champions League (2013/14) am 16. Dezember 2013. Wir wollen hier die Frage beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit werden die deutschen Mannschaften gegen einzelne mögliche Gegner antreten?

Bestimmte Teams sind für die deutschen Mannschaften wahrscheinlicher als andere, den für die Auslosung gelten bestimmte Regeln (siehe §7.09 im UEFA Regelwerk):

a) Clubs from the same association cannot be drawn against each other.
b) The winners and runners-up of the same group cannot be drawn against each other.
c) The group-winners cannot be drawn against each other.
d) The runners-up cannot be drawn against each other.

Die genauen Wahrscheinlichkeiten könnten theoretisch exakt berechnet werden. Allerdings stellen nicht alle Ländern (oder Verbände) die gleiche Zahl von Teams. Da Mannschaften eines Landes erst im Viertelfinale gegeneinander antreten dürfen, macht dies die Berechnung der exakten Wahrscheinlichkeiten schwierig (hier ist die mathematische Methodik beschrieben, mit der die exakten Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können): Aus den Gruppen A, D, E und F hat es jeweils eine Mannschaften aus Deutschland und England geschafft das Achtelfinale zu erreichen, wobei je zwei deutsche und je zwei englische Teams auf Platz 1 und Platz 2 liegen. Dagegen haben es „nur“ drei spanische Teams geschafft weiterzukommen (weil Real Sociedad in Gruppe A ausgeschieden ist). Die drei spanischen Mannschaften haben allerdings alle drei den ersten Platz ihrer jeweiligen Gruppe erreicht. 

Eine Monte-Carlo Simulation ist eine einfache Methode, die hierbei helfen kann die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, mit der jeder Gruppensieger einem möglichen Gruppenzweiten zugelost wird. Hierbei nutzen wir durch den Computer berechnete Zufallszahlen und simulieren damit die Auslosung sehr häufig (in unserem Fall 10.000 mal) und gucken wie häufig bestimmte Konstellationen vorkommen.  

Insgesamt ergeben sich so ungefähr 4.000 mögliche Achtelfinalpaarungen, die die Regeln der UEFA erfüllen, von 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 40.320  theoretisch vorstellbaren Kombinationen die Gruppenzweiten den Gruppenersten zuzulosen. Die möglichen Paarungen haben wir einfachhalber mit Hilfe des Computers berechnet, indem wir alle nicht gültigen Kombinationen gelöscht haben.

Eine Schwierigkeit besteht allerdings darin, dass es leicht passieren kann, dass wir bei einer Auslosung zum Ende hin mit Mannschaften übrigbleiben, die wir aufgrund der oben genannten Regeln nicht mehr gegenseitig zuordneren dürfen. Beispielsweise könnten wir bei einer „naiven“ Ziehung als letzte vier Teams die Gruppensieger Manchester United und Bayern München, und die Gruppenzweiten Arsenal London und Milan, übrigbehalten. Obwohl Milan ein möglicher Gegner beider Mannschaften darstellt, würden wir keine Lösung finden. Manchester City darf als englisches Team nach Regel a) nicht seinem englischen Kontrahenten Manchester United zugelost werden. Auch Bayern München stellt als Vorrundengegner in Gruppe D nach Regel b) kein möglicher Gegner dar. Die UEFA wird vermutlich mit bestimmten Mitteln sicherstellen, dass es bei der Ziehung im Fernsehen zum Ende hin nicht zu unmöglichen Paarungskonstellationen kommt (zum Beispiel mit genügend Urnen haben). Wir haben auch die UEFA angefragt, wie sie sicherstellen, dass es am Ende nicht zu "illegalen" Konstellationen kommt. Leider haben wir keine Antwort erhalten. Dies ist insbesondere nach unwahrscheinlichen Zufallstreffer vom letzten Jahr sehr schade.
 
Um sicherzustellen, dass das nicht eintritt, haben wir die Auslosung in jedem Schritt mit den Gruppenersten begonnen, die am wenigsten potenziell Gegner besitzen (und bei mehreren Fällen unter diesen Gruppenerstern gelost). Am Anfang haben wir entsprechend entweder mit einem englischen oder deutschen Gruppensieger angefangen (also entweder mit ManU, Bayern, Chelsea oder dem BVB), da diese Teams jeweils nur fünf mögliche Gegner haben (nicht-englische bzw. nicht-deutsche Gruppenzweite aus anderen Vorrundengruppen). Die spanischen Mannschaften Atlético, Barca oder Real und das französische Team Paris haben dagegen sieben mögliche Achtelfinalgegner.  

Hier seht ihr das Ergebnis. Auf Grund der geringeren Anzahl an möglichen Gegnern sind Englisch – Deutsche Paarungen besonders wahrscheinlich. Dagegen sind andere Paarungen zwischen Mannschaften mit vielen möglichen Gegnern eher unwahrscheinlich.

Ein sehr ähnliches Muster mit geringen Abweichungen hat 2010MisterChip bei Twitter veröffentlicht. Wir haben ihn versucht zu kontaktieren, um herauszufinden, wie er die Wahrscheinlichkeiten berechnet hat. Leider haben wir keine Antwort erhalten.

Der Code (in der Statistik Programmiersprache) findet ihr hier. Ein anderen Code (fürs letzte Jahr) ebenfalls für R ist hier zu finden.

Ideen, Anmerkungen?