Unserer erster Post befasst sich mit der Auslosung des Achtelfinales der diesjährigen UEFA Champions League (2013/14) am 16. Dezember 2013. Wir wollen hier die Frage beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit werden die deutschen Mannschaften gegen einzelne mögliche Gegner antreten?
Bestimmte Teams sind für die deutschen Mannschaften wahrscheinlicher als andere, den für die Auslosung gelten bestimmte Regeln (siehe §7.09 im UEFA Regelwerk):
a) Clubs from the same association cannot be drawn against each other.
b) The winners and runners-up of the same group cannot be drawn against each other.
c) The group-winners cannot be drawn against each other.
d) The runners-up cannot be drawn against each other.
Die genauen Wahrscheinlichkeiten könnten theoretisch exakt berechnet werden. Allerdings stellen nicht alle Ländern (oder Verbände) die gleiche Zahl von Teams. Da Mannschaften eines Landes erst im Viertelfinale gegeneinander antreten dürfen, macht dies die Berechnung der exakten Wahrscheinlichkeiten schwierig (hier ist die mathematische Methodik beschrieben, mit der die exakten Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können): Aus den Gruppen A, D, E und F hat es jeweils eine Mannschaften aus Deutschland und England geschafft das Achtelfinale zu erreichen, wobei je zwei deutsche und je zwei englische Teams auf Platz 1 und Platz 2 liegen. Dagegen haben es „nur“ drei spanische Teams geschafft weiterzukommen (weil Real Sociedad in Gruppe A ausgeschieden ist). Die drei spanischen Mannschaften haben allerdings alle drei den ersten Platz ihrer jeweiligen Gruppe erreicht.
Eine Monte-Carlo Simulation ist eine einfache Methode, die hierbei helfen kann die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, mit der jeder Gruppensieger einem möglichen Gruppenzweiten zugelost wird. Hierbei nutzen wir durch den Computer berechnete Zufallszahlen und simulieren damit die Auslosung sehr häufig (in unserem Fall 10.000 mal) und gucken wie häufig bestimmte Konstellationen vorkommen.
Insgesamt ergeben sich so ungefähr 4.000 mögliche Achtelfinalpaarungen, die die Regeln der UEFA erfüllen, von 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 40.320 theoretisch vorstellbaren Kombinationen die Gruppenzweiten den Gruppenersten zuzulosen. Die möglichen Paarungen haben wir einfachhalber mit Hilfe des Computers berechnet, indem wir alle nicht gültigen Kombinationen gelöscht haben.
Eine Schwierigkeit besteht allerdings darin, dass es leicht passieren kann, dass wir bei einer Auslosung zum Ende hin mit Mannschaften übrigbleiben, die wir aufgrund der oben genannten Regeln nicht mehr gegenseitig zuordneren dürfen. Beispielsweise könnten wir bei einer „naiven“ Ziehung als letzte vier Teams die Gruppensieger Manchester United und Bayern München, und die Gruppenzweiten Arsenal London und Milan, übrigbehalten. Obwohl Milan ein möglicher Gegner beider Mannschaften darstellt, würden wir keine Lösung finden. Manchester City darf als englisches Team nach Regel a) nicht seinem englischen Kontrahenten Manchester United zugelost werden. Auch Bayern München stellt als Vorrundengegner in Gruppe D nach Regel b) kein möglicher Gegner dar. Die UEFA wird vermutlich mit bestimmten Mitteln sicherstellen, dass es bei der Ziehung im Fernsehen zum Ende hin nicht zu unmöglichen Paarungskonstellationen kommt (zum Beispiel mit genügend Urnen haben). Wir haben auch die UEFA angefragt, wie sie sicherstellen, dass es am Ende nicht zu "illegalen" Konstellationen kommt. Leider haben wir keine Antwort erhalten. Dies ist insbesondere nach unwahrscheinlichen Zufallstreffer vom letzten Jahr sehr schade.
Um sicherzustellen, dass das nicht eintritt, haben wir die Auslosung in jedem Schritt mit den Gruppenersten begonnen, die am wenigsten potenziell Gegner besitzen (und bei mehreren Fällen unter diesen Gruppenerstern gelost). Am Anfang haben wir entsprechend entweder mit einem englischen oder deutschen Gruppensieger angefangen (also entweder mit ManU, Bayern, Chelsea oder dem BVB), da diese Teams jeweils nur fünf mögliche Gegner haben (nicht-englische bzw. nicht-deutsche Gruppenzweite aus anderen Vorrundengruppen). Die spanischen Mannschaften Atlético, Barca oder Real und das französische Team Paris haben dagegen sieben mögliche Achtelfinalgegner.
Hier seht ihr das Ergebnis. Auf Grund der geringeren Anzahl an möglichen Gegnern sind Englisch – Deutsche Paarungen besonders wahrscheinlich. Dagegen sind andere Paarungen zwischen Mannschaften mit vielen möglichen Gegnern eher unwahrscheinlich.
Ein sehr ähnliches Muster mit geringen Abweichungen hat 2010MisterChip bei Twitter veröffentlicht. Wir haben ihn versucht zu kontaktieren, um herauszufinden, wie er die Wahrscheinlichkeiten berechnet hat. Leider haben wir keine Antwort erhalten.
Der Code (in der Statistik Programmiersprache) findet ihr hier. Ein anderen Code (fürs letzte Jahr) ebenfalls für R ist hier zu finden.
Eine Schwierigkeit besteht allerdings darin, dass es leicht passieren kann, dass wir bei einer Auslosung zum Ende hin mit Mannschaften übrigbleiben, die wir aufgrund der oben genannten Regeln nicht mehr gegenseitig zuordneren dürfen. Beispielsweise könnten wir bei einer „naiven“ Ziehung als letzte vier Teams die Gruppensieger Manchester United und Bayern München, und die Gruppenzweiten Arsenal London und Milan, übrigbehalten. Obwohl Milan ein möglicher Gegner beider Mannschaften darstellt, würden wir keine Lösung finden. Manchester City darf als englisches Team nach Regel a) nicht seinem englischen Kontrahenten Manchester United zugelost werden. Auch Bayern München stellt als Vorrundengegner in Gruppe D nach Regel b) kein möglicher Gegner dar. Die UEFA wird vermutlich mit bestimmten Mitteln sicherstellen, dass es bei der Ziehung im Fernsehen zum Ende hin nicht zu unmöglichen Paarungskonstellationen kommt (zum Beispiel mit genügend Urnen haben). Wir haben auch die UEFA angefragt, wie sie sicherstellen, dass es am Ende nicht zu "illegalen" Konstellationen kommt. Leider haben wir keine Antwort erhalten. Dies ist insbesondere nach unwahrscheinlichen Zufallstreffer vom letzten Jahr sehr schade.
Um sicherzustellen, dass das nicht eintritt, haben wir die Auslosung in jedem Schritt mit den Gruppenersten begonnen, die am wenigsten potenziell Gegner besitzen (und bei mehreren Fällen unter diesen Gruppenerstern gelost). Am Anfang haben wir entsprechend entweder mit einem englischen oder deutschen Gruppensieger angefangen (also entweder mit ManU, Bayern, Chelsea oder dem BVB), da diese Teams jeweils nur fünf mögliche Gegner haben (nicht-englische bzw. nicht-deutsche Gruppenzweite aus anderen Vorrundengruppen). Die spanischen Mannschaften Atlético, Barca oder Real und das französische Team Paris haben dagegen sieben mögliche Achtelfinalgegner.
Hier seht ihr das Ergebnis. Auf Grund der geringeren Anzahl an möglichen Gegnern sind Englisch – Deutsche Paarungen besonders wahrscheinlich. Dagegen sind andere Paarungen zwischen Mannschaften mit vielen möglichen Gegnern eher unwahrscheinlich.
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